действие

1. Действие в Физике: Основы и Классическая Механика

1.1. Принцип Наименьшего Действия: Исторический Контекст и Формулировка.

Принцип наименьшего действия, также известный как принцип стационарного действия, представляет собой вариационный принцип, который утверждает, что фактический путь, пройдя физическую систему между двумя точками в пространстве конфигурации, является тем, для которого действие является стационарным. Другими словами, действие сводит к минимуму, максимизированию или является седенной точкой. Исторически, Пьеру Луи Мопертуису часто приписывают его первоначальную формулировку в середине 18-го века. Он видел это как философский принцип, отражающий божественную экономику. Тем не менее, его интерпретация была в значительной степени богословской и не имела математической строгости. Позже Леонхард Эйлер и Джозеф-Луи Лагранж разработали более точную математическую формулировку. Эйлер, опираясь на идеи Мопертуиса, продемонстрировал, что путь, за которым следует снаряд минимизирует интеграл его скорости. Лагранж, в его Аналитическая механикаформализовал принцип более общим и применимым образом.

Современная формулировка принципа наименьшего действия включает в себя функционал, называемый действием, обозначаемым СПолем Для частицы, движущейся из точки Q₁. в момент времени T₁ чтобы указать Q₂. в момент времени T₂действие определяется как интеграл времени Лагранжиана Л Вдоль пути частицы:

S = ∫[t₁, t₂] L (q (t), q̇ (t), t) dt

Здесь, Q (T) представляет обобщенные координаты, описывающие конфигурацию системы, и q̇ (t) представляет их временные производные (обобщенные скорости). Лагранжиан, как правило, является разницей между кинетической энергией Т И потенциальная энергия V. системы: L = T – V.

Принцип стационарного действия гласит, что фактический путь Q (T) это то, что делает функциональную производную (или вариационную производную) действия, равного нулю:

ΔS = 0

Это условие подразумевает, что бесконечно массивное изменение пути вокруг фактического пути не изменит значение действия на первом порядке. Математическое следствие этого принципа, полученное с использованием исчисления вариаций, приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа.

1.2. Вывод Уравнений Эйлера-Лагранжа: Математический Аппарат.

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа является краеугольным камнем лагранжской механики и опирается на исчисление вариаций. Он обеспечивает мощный метод для определения уравнений движения системы на основе принципа стационарного действия. Давайте рассмотрим одну частицу, движущуюся в одном измерении, но вывод может быть обобщен до нескольких частиц и более высоких измерений.

Мы начинаем с интеграла действия:

S = ∫[t₁, t₂] L (q (t), q̇ (t), t) dt

Мы хотим найти функцию Q (T) это минимизирует (или делает стационарный) этот интегральный, в зависимости от граничных условий Q (T₁) = Q₁ и Q (T₂) = Q₂Полем Рассмотрим вариант ΔQ (t) вокруг фактического пути Q (T)так что новый путь Q (T) + εΔQ (T)где эн это небольшой параметр. Мы также требуем, чтобы ΔQ (t₁) = ΔQ (t₂) = 0гарантируя, что конечные точки оставались фиксированными.

Соответствующий вариант действия:

ΔS = ∫[t₁, t₂] {L (q + εδq, q̇ + εΔQ̇, t) – l (q, q̇, t)} dt

Использование расширения Тейлора для первого порядка в энмы получаем:

ΔS ≈ ∫[t₁, t₂] {(∂l/∂q) εδq + (∂l/∂q̇) εΔQ̇} dt

Теперь мы интегрируем второй термин по частям:

∫[t₁, t₂] (∂l/∂q̇) εΔQ̇ dt = [(∂L/∂q̇) εδq][t₁, t₂] – ∫[t₁, t₂] (d/dt (∂l/∂q̇)) εΔQ dt

С ΔQ (t₁) = ΔQ (t₂) = 0граничный термин исчезает, и у нас осталось:

ΔS ≈ ∫[t₁, t₂] {(∂l/∂q) εδq – (d/dt (∂l/∂q̇)) εΔQ} dt

ds ≈ e ∫[t₁, t₂] {(∂l/∂q) – (d/dt (∂l/∂q̇))} Δq dt

Для того, чтобы действие было стационарным (ΔS = 0) для произвольных вариаций ΔQ (t)термин внутри интеграла должен быть нулевым:

∂l/∂q – d/dt (∂l/∂q̇) = 0

Это уравнение Эйлера-Лагранжа. Для системы с несколькими обобщенными координатами Qᵢ.есть одно уравнение Эйлера-Лагранжа для каждой координаты:

∂l/∂qᵢ – d/dt (∂l/∂qᵢᵢ) = 0 (для каждого I)

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка, которые описывают движение системы. Они эквивалентны законам движения Ньютона, но их часто легче применять в сложных ситуациях, особенно при работе с ограничениями или невоздушевленными координатами.

1.3. Примеры Применения в Классической Механике: Гармонический Осциллятор, Маятник.

Уравнения Эйлера-Лагранжа, полученные из принципа наименьшего действия, могут быть применены к широкому спектру проблем в классической механике. Давайте рассмотрим два классических примера: простой гармонический генератор и простой маятник.

Простой гармонический генератор:

Рассмотрим массу м прикреплен к пружине с постоянной пружиной kПолем Потенциальная энергия составляет v (x) = (1/2) kx², а кинетическая энергия составляет t (ẋ) = (1/2) Mẋ². Поэтому лагранжиан:

L = T – V = (1/2) Mẋ² – (1/2) KX²

Применение уравнения Euler-Lagrange:

∂l/∂x – d/dt (∂l/∂ẋ) = 0

∂l/∂x = -kx ∂l/∂ẋ = mẋ d/dt (∂l/∂ẋ) = mẍ

Заменить в уравнение Эйлера-Лагранжа:

-kx – mẍ = 0

mẍ + kx = 0

Это знакомое уравнение движения для простого гармонического генератора. Решение – x (t) = a cos (ωt + φ), где a – амплитуда, ω = √ (к/м) – угловая частота, а φ – фазовая постоянная.

Простая маятник:

Рассмотрим точку массы м подвешенная бесцветная цепочка длины л в равномерном гравитационном поле глинПолем Обобщенная координата – это угол тур что строка делает с вертикальной. Кинетическая энергия составляет t = (1/2) Ml²θ̇², а потенциальная энергия – v = mgl (1 – cos θ). Лагранжиан:

L = t – v = (1/2) ml²θ̇² – mgl (1 – cos θ)

Применение уравнения Euler-Lagrange:

∂l/∂θ – d/dt (∂l/∂θ̇) = 0

∂l/∂θ = -mgl sin θ ∂l/∂θ̇ = ml²θ̇ d/dt (∂l/∂θ̇) = ml²θ̈

Заменить в уравнение Эйлера-Лагранжа:

-MGL SIN I – ML²TH = 0

ml²tḧ + mgl sin th = 0

I + (г/л) sin θ = 0

Это уравнение движения для простого маятника. Для небольших углов (sin θ ≈ θ) уравнение упрощает до θ̈ + (g/l) θ = 0, которое описывает простое гармоническое движение с угловой частотой ω = √ (г/л).

Эти примеры иллюстрируют силу и общность принципа наименьших действий и уравнений Эйлера-Лагранжа. Они обеспечивают систематический подход к получению уравнений движения для широкого спектра физических систем. Лагранжский подход особенно полезен при работе с ограниченным движением или некартовыми координатами, где ньютоновская механика может стать громоздкой.

1.4. Обобщенные Координаты и Степени Свободы.

Концепция обобщенных координат является фундаментальной для Лагранжевой и Гамильтонианской механики. Это позволяет нам описать конфигурацию системы, используя минимальный набор независимых переменных, упрощая анализ сложных систем.

Общие координаты:

Обобщенные координаты, обозначенные Qᵢ.представляют собой набор независимых переменных, которые полностью указывают конфигурацию системы. Количество требуемых обобщенных координат равно числу степеней свободы системы. В отличие от декартовых координат, которые часто ограничены физическими ограничениями, обобщенные координаты выбираются для естественного отражения ограничений системы. Это упрощает уравнения движения, потому что ограничения неявно встроены в выбор координат.

Например, рассмотрим частицу, движущуюся на поверхности сферы радиуса ВедущийПолем В декартовых координатах нам понадобится три координата (x, y, z) с ограничением x² + y² + z² = r². Однако мы можем описать положение частицы, используя два обобщенных координата: полярный угол тур и азимутальный угол φПолем Эти координаты непосредственно указывают местоположение частицы на сфере, не имея явного отношения с уравнением ограничения.

Степени свободы:

Количество степеней свободы системы – это минимальное количество независимых координат, необходимых для полного указания конфигурации системы. Для одной частицы, движущейся в трехмерном пространстве без каких-либо ограничений, она имеет три градуса свободы, что соответствует своим трем декартовым координатам (x, y, z). Если частица ограничена для перемещения по линии, она имеет только одну степень свободы.

В общем, система Не Частицы, движущиеся в трехмерном пространстве, имеют 3Не степени свободы. Если есть k Независимые уравнения ограничения, количество степеней свободы уменьшается до 3Не – kПолем Преимущество использования обобщенных координат заключается в том, что мы выбираем набор координат, равных количеству степени свободы, что устраняет необходимость явного рассмотрения уравнений ограничения в динамике.

Выбор обобщенных координат:

Выбор обобщенных координат не является уникальным, и лучший выбор зависит от конкретной проблемы. Цель состоит в том, чтобы выбрать координаты, которые упрощают Лагранжиан и полученные уравнения движения. Некоторые общие рекомендации включают:

• Отражающая симметрию: Выберите координаты, которые отражают симметрию системы. Например, используйте полярные координаты для систем с вращательной симметрией.
• Включение ограничений: Выберите координаты, которые автоматически удовлетворяют ограничениям системы.
• Минимизация сложности: Выберите координаты, которые приводят к самым простым возможным Лагранж и уравнениям движения.

Пример: двойной маятник

Рассмотрим двойной маятник, состоящий из двух масс, манера и манераподвешенные без безмасштабных стержней длины L₁ и L₂Полем В декартовых координатах указание позиций двух масс потребует четырех координат (x₁, y₁, x₂, y₂), при условии двух уравнений ограничения, связанных с фиксированной длиной стержней. Тем не менее, мы можем использовать два обобщенных координата: углы тур и тур что стержни делают с вертикальной. Эти два координата полностью указывают на конфигурацию системы, и уравнения ограничения автоматически удовлетворены.

С использованием тур и турдекартовые координаты масс могут быть выражены как:

x₁ = l₁ sin th₁ y₁ = -l₁ cos th₁ x₂ = l₁ sin thi + l₂ sin th₂ y₂ = -l₁ cos th -l₂ cos th

Из них кинетические и потенциальные энергии и впоследствии Лагранжиан могут быть получены с точки зрения турВ турВ ₁₁и ₂₂приводя к набору из двух связанных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение двойного маятника. Этот подход значительно проще, чем использование картезианских координат и явное дело с уравнениями ограничения.

1.5. Связь с Законами Сохранения: Теорема Нётер.

Теорема Nether является фундаментальным результатом в теоретической физике, которая устанавливает прямую связь между симметрией в физической системе и консервативными количествами. В нем говорится, что для каждой непрерывной симметрии действия существует соответствующая консервативная величина. Эта теорема имеет решающее значение для понимания взаимосвязи между фундаментальными законами физики и законами о сохранении, которые регулируют физические явления.

Симметрии и преобразования:

Симметрия системы – это преобразование, которое оставляет инвариантное действие. Другими словами, если мы применим преобразование симметрии к координатам и скоростям, значение действия остается неизменным. Общие примеры симметрии включают:

• Симметрия перевода времени: Инвариантность системы в сдвигах во времени.
• Пространственная симметрия перевода: Инвариантность системы при сдвигах в пространственных координатах.
• Вращательная симметрия: Инвариантность системы под вращением в космосе.

Теорема Нэтер: формальное утверждение

Более формально, допустим, у нас постоянно преобразование обобщенных координат и времени:

Qᵢ → Qᵢ ‘= Qᵢ + ε ΔQᵢ T → T’ = T + ε ΔT

где эн является бесконечно малым параметром и ΔQᵢ и Δt являются бесконечно малыми изменениями в координатах и ​​времени, соответственно. Если действие С инвариантно под этой трансформацией, затем количество

J = ∑ᵢ (∂l/∂qᵢᵢ) Δqᵢ – h Δt

Сохраняется, где ЧАС это гамильтониан системы, и эта сумма взята на все обобщенные координаты Qᵢ.Полем Гамильтониан определяется как:

H = ∑ᵢ qᵢᵢ (∂l/∂qᵢᵢ) – l

Примеры консервативных величин:

1. Симметрия перевода времени и энергосбережение: Если лагранжиан явно не зависит от времени (∂L/∂t = 0), система обладает симметрией перевода времени. Это означает, что физика системы одинакова независимо от того, когда проведен эксперимент. Согласно теореме Ноэтер, консервативное количество – это гамильтониан, которая представляет общую энергию системы. В этом случае ΔT = 1 и ΔQᵢ = 0, поэтому j = -h подразумевает, что гамильтониан (и, следовательно, энергия) сохраняется.

2. Пространственная симметрия перевода и сохранение импульса: Если лагранжиан инвариантен в соответствии с переводами в определенном пространственном направлении (например, направление X), то система обладает симметрией пространственной трансляции в этом направлении. Это подразумевает, что физика системы одинакова, независимо от того, где она находится вдоль этого направления. Согласно теореме Ноэтер, консервативное количество является компонентом импульса, сопряженного с этим направлением. Если Qᵢ. Представляет позицию в направлении x, то ΔQᵢ = 1 и ΔT = 0, поэтому j = ∂L/∂Qᵢᵢ, который является импульсом в направлении X.

3. Вращательная симметрия и угловая сохранение импульса: Если лагранжиан инвариантен при вращении вокруг конкретной оси, то система обладает вращательной симметрией об этой оси. Согласно теореме Ноэтер, консервативное количество является компонентом углового импульса об этой оси.

Значение теоремы Нэтер:

Теорема Nether является мощным инструментом для понимания фундаментальных законов физики. Он обеспечивает глубокую связь между симметриями и законами о сохранении, которые необходимы для понимания поведения физических систем. Это позволяет нам предсказать существование консервативных величин на основе симметрии лагранжиана, без необходимости явно решать уравнения движения. Это особенно полезно в сложных системах, где решение уравнений движения сложно или невозможно. Теорема предоставляет руководящий принцип для разработки новых физических теорий и понимания фундаментальных принципов, которые управляют вселенной.

1. Действие в Квантовой Механике: От Классики к Квантам

2.1. Интеграл по Траекториям Фейнмана: Основная Идея и Формулировка.

Интегральная формулировка квантовой механики Path, разработанная Ричардом Фейнманом, предлагает альтернативный подход к пониманию квантовых явлений по сравнению с обычным формализмом уравнения Шрокрингера. Вместо того, чтобы сосредоточиться на волновой функции как функции времени, интегральная формулировка пути вычисляет амплитуду вероятности для частицы перемещаться от одной точки к другой, суммируя все возможные пути, которые могла бы выбрать частица, взвешивая каждый путь фазовым фактором, определяемым классическим действием.

Основная идея:

Основная идея интеграла пути заключается в том, что квантовая частица не просто принимает одну четко определенную траекторию, такую ​​как классическую частицу. Вместо этого он исследует все возможные пути одновременно. Каждый путь способствует общей амплитуде вероятности, чтобы частица распространялась из начального состояния в конечное состояние.

Классический путь, который минимизирует действие, вносит наибольшее значение в амплитуду вероятности. Однако пути, которые значительно отклоняются от классического пути, также вносят вклад, хотя и с меньшими амплитудами. Это объясняет квантовые эффекты, такие как туннелирование и помехи, которые нелегко объяснить в классической механике.

Математическая формулировка:

Амплитуда вероятности для частицы распространяется из точки Qᵢ. в момент времени Tᵢ до точки QF в момент времени тфу дается интегралом пути:

⟨Qf, tf | Qi, ti⟩ = ∫ d[q(t)] exp (есть[q(t)]/час)

Где:

• ⟨Qf, tf | Qi, ti⟩ представляет амплитуду вероятности.
• ∫ d[q(t)] Обозначает функциональный интеграл, который является суммой по всем возможным путям Q (T) это удовлетворяет граничные условия q (ti) = Qi и Q (TF) = QFПолем
• С[q(t)] = ∫[ti, tf] L (q (t), q̇ (t), t) dt – классическое действие для пути Q (T)где Л это лагранжиан системы.
• ħ – это уменьшенная постоянная Планка.

Функциональный интеграл:

Функциональный интеграл ∫ D[q(t)] не является стандартным интегралом. Он представляет собой бесконечный интеграл по всем возможным функциям Q (T)Полем Чтобы сделать его математически четко определенным, он обычно аппроксимируется путем деления интервала времени [ti, tf] в Не Маленькие временные кусочки продолжительности ε = (tf – of)/nПолем Затем интеграл пути становится множественным интегралом по позициям Q₁.В Q₂.…, Qn-1 В каждое промежуточное время:

∫ d[q(t)] ≈ lim (n → ∞) (1/a) ᴺ⁻ ∫ dq₁ ∫ dq₂ … ∫ dqn-1 exp (i/ħ ∑[j=0, N-1] Ly (j, (q)/b)/ε, in) ε)

где А является коэффициентом нормализации, который обеспечивает правильную нормализацию амплитуд вероятности.

Важность действия:

Экспоненциальный термин Exp (IS[q(t)]/ħ) имеет решающее значение. Он представляет собой фазовый фактор, который зависит от классического действия С[q(t)]Полем Величина этого фазового фактора всегда 1, но его фаза варьируется в зависимости от пути. Когда С[q(t)] намного больше, чем ħ, фазовые факторы для разных путей имеют тенденцию быстро колебаться и отменяют друг друга из -за разрушительных помех. Тем не менее, пути вблизи классического пути, где действие является стационарным, имеют сходные фазовые факторы, что приводит к конструктивным помехам и значительному вкладу в амплитуду вероятности. Это объясняет, почему классический путь является наиболее вероятным путем в классическом пределе (ħ → 0).

Пример: бесплатная частица:

Рассмотрим свободную частицу с лагранжевой L = (1/2) M Q̇². Классическое действие для пути от Qi к QF со временем T = tf -. IS SCL = (M / 2) (QF – QI) ² / T. Интеграл пути для свободной частицы может быть точно оценен, давая:

⟨Qf, tf | Qi, ti⟩ = √ (m/(2πt)) exp (iscl/h) = √ (m/(2πiht)) exp (im (qf – qi – qi) ²/(2ht))

Этот результат согласуется с амплитудой вероятности, полученной при решении уравнения Schrödinger для свободной частицы.

2.2. Стационарная Фаза и Классический Предел.

Стационарная фазовая аппроксимация – это мощный метод, используемый для оценки интегралов формы:

I = ∫ g (x) exp (if (x)) dx

где f (x) это быстро изменяющаяся функция и g (x) это медленно изменяющаяся функция. В контексте интеграла пути стационарное фазовое приближение позволяет нам понять связь между квантовой механикой и классической механикой, показывая, что в классическом пределе (ħ → 0) доминирующий вклад в интеграл пути исходит из классического пути, который сводит к минимуму действия.

Стационарное фазовое приближение:

Основная идея стационарного фазового приближения заключается в том, что когда f (x) быстро изменяется, экспоненциальный термин exp (if (x)) быстро колеблется, и интеграл имеет тенденцию среднего до нуля из -за разрушительных помех. Однако около точки, где производная f (x) ноль (то есть где f (x) является стационарным), колебания медленнее, а интеграл может иметь значительное значение.

Чтобы применить аппроксимацию стационарной фазы, мы сначала найдем точку x₀. где производная f (x) ноль:

f ‘(x₀) = 0

Затем мы расширяемся f (x) вокруг x₀. Используя серию Тейлора:

f (x) ≈ f (x₀) + (1/2) f ” (x₀) (x – x₀) ² + …

Предполагая это f ” (x₀) это ненулевая, мы можем приблизительно интеграл как:

I ≈ g (x₀) exp (if (x₀)) ∫ exp (i (1/2) f ” (x₀) (x – x₀) ²) dx

Этот интеграл – гауссовый интеграл, который можно точно оценить:

∫ exp (i (1/2) f ” (x₀) (x – x₀) ²) dx = √ (2πi / f ” (x₀))

Следовательно, приближение стационарной фазы дает:

I ≈ g (x₀) exp (if (x₀)) √ (2πi / f ” (x₀))

Классический предел интеграла пути:

В целостной формулировке квантовой механики пути: мы имеем:

⟨Qf, tf | Qi, ti⟩ = ∫ d[q(t)] exp (есть[q(t)]/час)

Здесь, С[q(t)]/час играет роль f (x) В общем интеграле стационарного фазы и D[q(t)] можно рассматривать как игра роль G (x), хотя и в более сложном, функциональном смысле. Мы хотим проанализировать этот интеграл в классическом пределе, где ħ очень мало по сравнению с действием.

В этом пределе экспресс фазового фактора ([q(t)]/ħ) чрезвычайно быстро колеблется как функция пути Q (T)Полем Только пути поблизости пути, который делает действие стационарным, будут значительно внести свой вклад в интеграл. Эти пути удовлетворяют классическим уравнениям движения, а стационарная точка действия – классический путь.

Классический путь, обозначенный qcl (t)удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа:

ΔS[q(t)]/ΔQ (t) | q (t) = qcl (t) = 0

Расширяя действие вокруг классического пути, мы получаем:

С[q(t)] ≈ с[qcl(t)] + (1/2) ∫[ti, tf] Δ²s/ΔQ (t) ΔQ (t ‘) | q (t) = qcl (t) ΔQ (t) ΔQ (t’) dt dt ‘ + …

где ΔQ (t) = q (t) – qcl (t) Представляет отклонение от классического пути, а Δ²S/ΔQ (t) ΔQ (t ‘) является вторым функциональным производным действия.

Применяя аппроксимацию стационарной фазы, в интеграле пути преобладает классический путь:

⟨Qf, tf | Qi, ti⟩ ≈ a exp (это[qcl(t)]/час)

где А является префактором, который возникает из гауссового интеграла по поводу отклонений от классического пути.

Интерпретация:

Этот результат показывает, что в классическом пределе (ħ → 0) амплитуда вероятности для частицы распространяется из Qi к QF в первую очередь определяется классическим действием, оцениваемым по классическому пути. Амплитуда пропорциональна EXP (IS[qcl(t)]/ħ), который является быстро колеблющимся фазовым фактором. Тот факт, что действие является стационарным вдоль классического пути, гарантирует, что пути вблизи классического пути конструктивно мешают, в то время как пути далеко от классического пути мешают деструктивно.

Это обеспечивает глубокую связь между квантовой механикой и классической механикой. Классическая механика появляется как приближение квантовой механики в пределе, где квантовые эффекты незначительны, а действие намного больше ħ. Стационарная фазовая аппроксимация позволяет нам математически демонстрировать эту связь и понимать, как классический путь становится доминирующим путем в классическом пределе.

2.3. Принцип Наименьшего Действия и Квантовая Интерференция.

Принцип наименьшего действия, применяемый в интегральной формулировке квантовой механики пути, обеспечивает глубокое понимание квантовых помех. Он показывает, как классическая механика возникает из более фундаментального квантового описания и освещает волновое поведение частиц.

Классическое действие и квантовая амплитуда:

В классической механике принцип наименьшего действия гласит, что частица следует по пути, который минимизирует действие. Тем не менее, в квантовой механике, интегральная состава пути Фейнмана предполагает, что частица исследует все возможные пути между двумя точками в пространстве -времени, и каждый путь способствует амплитуде вероятности для частицы, чтобы распространяться из начальной точки в конечную точку.

Вклад каждого пути взвешен с помощью фазового фактора Exp (IS IS[q(t)]/ħ), где с[q(t)] это классическое действие для этого пути, а ħ – это уменьшенная постоянная Планка. Затем амплитуда общей вероятности получается путем суммирования (интеграции) по всем возможным путям.

Квантовые вмешательство:

Фазовые факторы exp (IS[q(t)]/ħ), связанные с различными путями, приводят к квантовым помехам. Когда фазы разных путей похожи, они конструктивно мешают, и амплитуда вероятности усиливается. Когда фазы значительно различаются, они мешают деструктивно, и амплитуда вероятности снижается.

Классический путь, который минимизирует действие, играет особую роль. Пути поблизости классического пути имеют действия, которые близки к минимальному значению, поэтому их фазовые факторы также похожи. В результате эти пути конструктивно мешают, что приводит к значительному вкладу в общую амплитуду вероятности.

Пути, которые значительно отклоняются от классического пути, имеют действия, которые намного больше, чем минимальное значение. Их фазовые факторы быстро колеблются, и они имеют тенденцию мешать деструктивно, уменьшая их вклад в общую амплитуду вероятности.

Иллюстративный пример: эксперимент с двойным щелмом

Двойной эксперимент-это классический пример, который демонстрирует квантовые помехи. В этом эксперименте частицы (например, электроны) стреляют на экране с двумя прорезями. Несмотря на то, что каждая частица проходит только через одну щель, шаблон, наблюдаемая на экране, представляет собой интерференционную картину, указывающая, что частицы ведут себя как волны.

В формулировке интеграла пути мы можем понять это явление, рассмотрев все возможные пути, которые частица может перенести из источника в точку на экране. Некоторые пути проходят через одну щель, некоторые проходят через другую щель, а некоторые занимают более запутанные маршруты.

Пути, которые проходят через каждую щель, имеют действия, которые близки к минимальному действию для путей, которые проходят через эту щель. Эти пути конструктивно мешают, создавая два пика в амплитуде вероятности на экране. Паттерн интерференций возникает потому, что пути, которые проходят через разные щели, имеют разные действия, что приводит к конструктивным и разрушительным помехи в разных точках на экране.

Классический предел и принцип наименьшего действия:

В классическом пределе (ħ → 0) фазовые факторы Exp (IS[q(t)]/ħ) крайне быстро колебаться в зависимости от пути Q (T)Полем Только пути в непосредственной близости от классического пути (путь, который минимизирует действие) вносят значительный вклад в интеграл пути. Это связано с тем, что эти пути имеют действия, которые очень близки к минимальному действию, и их фазовые факторы почти идентичны, что приводит к конструктивным помехам.

По мере того, как ħ приближается к нулю, вклад всех неклассических путей становится незначительным из-за разрушительных помех, а частица эффективно эффективно следует за классическим путем, что согласуется с принципом наименьшего действия в классической механике. Таким образом, принцип наименьшего действия возникает как следствие квантового помех в классический предел.

2.4. Квантование и Действие: Связь с Постоянной Планка.

Концепция действия играет центральную роль в понимании квантования физических величин в квантовой механике. Фундаментальная связь между действием и квантованием опосредуется постоянной (ħ) Планка (ħ), которая устанавливает шкалу, при которой квантовые эффекты становятся значимыми.

Квантование:

В классической механике физические величины, такие как энергия, импульс и угловой импульс, могут приобретать непрерывные значения. Однако в квантовой механике эти величины часто квантованы, что означает, что они могут принять только дискретные значения. Это квантование является прямым следствием волнообразной природы частиц и принципа суперпозиции.

Действие и квантовые числа:

Переменная действия, определенная как интеграл обобщенного импульса над обобщенной координатой для полного цикла, связана с квантовыми числами, которые характеризуют состояние квантовой системы. Например, рассмотрим частицу в одномерной потенциальной скважине. Классическое действие для полного цикла колебаний:

J = ∮ P DQ

где п это импульс и Q. это позиция. В квантовой механике переменная действия квантоватизирована в соответствии с правилом квантования Bohr-Sommerfeld:

J = nn

где не это целочисленное квантовое число. Это правило подразумевает, что только те классические траектории, для которых действие является целым числом ħ, разрешены в квантовой системе.

Соединение с постоянной Планка:

Константа Планка (ħ) является фундаментальной постоянной, которая определяет масштаб квантовых эффектов. Он имеет единицы действия (энергия × время или импульс × длина). Тот факт, что ħ является небольшим, но ненулевым значением, подразумевает, что классическая механика является хорошим приближением для систем, где действие намного больше ħ. Однако, когда действие сопоставимо или меньше ħ, квантовые эффекты становятся значительными, а классическое описание разрушается.

В составах интеграла пути фазовый коэффициент Exp (IS IS[q(t)]/ħ) играет решающую роль. Когда действие С намного больше ħ, фазовый фактор быстро колеблется, а классический путь доминирует в квантовом поведении. Однако когда С сопоставим с ħ, фазовый фактор колеблется менее быстро, и квантовые эффекты интерференции становятся важными. Вот почему квантовая механика необходима для описания явлений на атомном и субатомном уровне, где вовлеченные действия обычно находятся в порядке ħ.

Примеры:

1. Гармонический генератор: Для гармонического осциллятора уровни энергии квантовые как en = (n + 1/2) ħω, где n – целочисленное квантовое число, а ω – угловая частота. Действие для полного цикла колебаний составляет j = en/ν = (n + 1/2) h, где ν – частота, а H = 2πħ – постоянная Планка. Это согласуется с правилом квантования Bohr-Sommerfeld.

2. Атом водорода: В атоме водорода уровни энергии квантованы как en = -13,6 эВ / н ор, где n является целочисленным квантовым числом. Квантование энергии напрямую связано с квантованием действия, связанного с орбитой электрона вокруг ядра.

Подразумеваемое:

Связь между действием и постоянной Планка имеет глубокие последствия для нашего понимания вселенной. Это показывает, что квантовая механика – это не просто небольшая коррекция к классической механике, а скорее принципиально различное описание реальности. Это объясняет, почему определенные физические величины квантовы и почему квантовые эффекты важны на атомном и субатомном уровне. Интегральная формулировка пути обеспечивает мощную основу для понимания взаимосвязи между действием, квантованием и квантовыми помехами, и она подчеркивает центральную роль постоянной Планка в формировании квантового мира.

2.5. Действие в Квантовой Теории Поля.

В квантовой теории поля (QFT) концепция действия играет еще более центральную роль, чем в квантовой механике. Вместо того, чтобы иметь дело с частицами точек, QFT описывает фундаментальные организации как области, которые пронизывают все пространства. Эти поля можно рассматривать как непрерывные коллекции генераторов, и их динамика регулируется функционалом действия, который кодирует фундаментальные законы физики.

Поля в качестве фундаментальных объектов:

В QFT основными объектами являются квантовые поля, такие как электромагнитное поле, электронное поле и поля кварка. Эти поля являются оператором, оцененными функциями координат пространства-времени, обозначенными φ (x), где x = (t, x, y, z). Поля описывают фундаментальные избиратели материи и их взаимодействия.

Действие функциональное:

Динамика квантовых полей определяется функционалом действия, которое является функционалом полей и их производных. Действие является косметическим интегралом плотности Лагрангии, обозначаемой L:

S = ∫ d⁴x l (φ (x), ∂µφ (x))

где:

• ∫ D⁴x представляет интеграл по всему пространству (время и три пространственных измерения).
• L (φ (x), ∂µφ (x)) – это плотность Лагрангиана, которая зависит от полей φ (x) и их производных их пространства ∂µφ (x) = (∂/∂t, ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) φ (x).
• ∂µ является четырехсевативным, с µ, работающим от 0 до 3.

Пример: теория скалярного поля

Простым примером является теория реального скалярного поля φ (x) с массой м и квартирный термин самостоятельного введения:

L = (1/2)

где:

• (1/2) ∂µφ ∂µφ является термином кинетической энергии.
• (1/2) м² φ² – массовый термин.
• (λ/4!) φ⁴ – это член квартического взаимодействия, причем λ является постоянной связи.

Интегральная формулировка пути в QFT:

Интегральная формулировка пути является основным методом квантования теорий поля. Квантовая амплитуда для перехода между начальной конфигурацией поля φi (x) в момент времени Ti и окончательной конфигурацией поля φf (x) В момент времени TF определяется интегралом пути:

⟨Φf, tf | φi, ti⟩ = ∫ d[φ] exp (есть[φ]/час)

где:

• ∫ d[φ] Представляет функциональный интеграл по всем возможным конфигурациям поля φ (x), которые удовлетворяют граничным условиям φ (ti, x) = φi (x) и φ (tf, x) = φf (x).
• С[φ] является действием функциональным для конфигурации поля φ (x).

Диаграммы Фейнмана и теория возмущений:

Оценка интеграла пути в QFT, как правило, очень сложно. Однако для слабо взаимодействующих теорий (где константа связи λ мала), мы можем использовать теорию возмущений для приближения интеграла пути. Теория возмущений включает в себя расширение экспоненциального эксплуата[φ]/ħ) В полномочиях постоянной связи и расчета получающегося порядка интегралов по порядку.

Диаграммы Фейнмана являются графическими представлениями терминов в серии возмущений. Каждая диаграмма представляет собой конкретный процесс, включающий взаимодействие частиц, и амплитуда, связанная с каждой диаграммой, может быть рассчитана с использованием правил Фейнмана, полученных из действия.

Симметрии и законы о сохранении в QFT:

Теорема Нэтер также играет решающую роль в QFT. Симметрия функционала действия приводит к консервативным токам и зарядам. Например, инвариантность действия в рамках переводов в пространстве -времени приводит к сохранению энергии и импульса, в то время как инвариантность при преобразовании Лоренца приводит к сохранению углового импульса. Внутренние симметрии, такие как симметрия U (1), могут привести к сохранению электрического заряда или других консервативных квантовых чисел.

Перенормирация:

Квантовые теории поля часто страдают от расхождений в серии возмущений из -за наличия диаграмм петли с участием виртуальных частиц с произвольно высокими энергиями. Перенормализация – это процедура удаления этих расхождений путем поглощения их в переосмысление параметров теории, таких как масса и константы связи. Говорят, что теория является перенормируемой, если все расхождения могут быть удалены с помощью конечного количества конфликтов.

Значение:

Квантовая теория поля обеспечивает наиболее точное и полное описание фундаментальных сил и частиц в природе. Он лежит в основе стандартной модели физики частиц, которая описывает электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия. Концепция действия играет центральную роль в QFT, обеспечивая основу для формулирования фундаментальных законов физики и расчета свойств частиц и их взаимодействий.

1. Действие в Относительности: Объединение Пространства и Времени

3.1. Действие для Свободной Частицы в Специальной Теории Относительности.

В особой относительности принцип действия изменен как согласуется с постулатами относительности, а именно, что законы физики одинаковы во всех инерционных рамах и что скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения